Le but des lignes est de donner une aperçu très simplifié de l'Analyse Non-Standard. L'Analyse Non-Standard est une théorie mathématique esquissée dès les années 60 par Robinson, à partir de la théorie des modèles. Cette nouvelle Analyse (par opposition à l'Analyse Classique) permet de calculer rigoureusement avec des nombres infiniment grands et infiniment petits, comme l'ont toujours fait les physiciens.

La notion d'infiniment petit est très ancienne : elle est apparue de manière significative en Europe à la fin du XVIIe siècle, avec des savants comme Leibniz, Newton, De l'Hospital, etc. C'est cette notion qui a permis d'imaginer les notions de limite et de de dérivées qui sont à la base de toute l'Analyse. D'ailleurs, elle porte encore le nom de "Calcul Infinitésimal". Mais l'idée originelle d'infiniment petit a été rejetée par les mathématiciens, car on n'arrivait pas à lui donner une définition rigoureuse. La rigueur s'est frayée un chemin grâce à la formalisation de la notion de limite par Cauchy, mais cela au détriment d'une compréhension directe et intuitive que les physicien n'ont jamais voulu abandonner. En effet, les raisonnements du style : « Pour tout epsilon > 0, il existe n suffisamment grand tel que ... » sont rigoureux mais parfois d'une lourdeur rédhibitoire !

Pourtant, les mathématiques classiques regorgent d'infiniment grands et d'infiniment petits. En effet, la définition intuitive d'un infiniment grand est un nombre plus grand que tout nombre ordinaire (fini). Pour pouvoir faire des calculs avec des infiniments grands, il suffit de trouver une algèbre munie d'une relation d'ordre appropriée, contenant des éléments supérieurs à tout une classe d'autres éléments assimilables à l'ensemble des nombres ordinaires. Par exemple, dans l'algèbre des fractions rationnelles, les polynômes constants, assimilables aux nombres réels, sont tous inférieurs au polynôme X. X fait donc figure d'infiniment grand, ainsi que X², etc, et 1/X, 1/X² sont des infiniment petits. Fantastique ! On peut donc faire du calcul avec des infiniment grands et des infiniments petits ! Oui, mais ce calcul se limite aux opérations habituelles +, -, fois et diviser. Que dire par exemple, de l'image du "nombre infiniment grand" X par une fonction quelconque ne se réduisant pas à une combinaison d'opérations élémentaires ? On aimerait pouvoir dire (intuitivement) que c'est la limite de la fonction en + l'infini. Oui, mais si la fonction n'a pas de limite ?

On voit que le problème ne réside pas vraiment dans l'existence d'infiniment grands ou petits, mais dans la définition de leur propriétés. On voudrait pouvoir transférer naturellement les propriétés des nombres ordinaires aux infiniment grands et petits. C'est ce tour de force élégant qu'a réussi l'Analyse Non-Standard, ouvrant les portes à un calcul infinitésimal efficace.

On ajoute aux mathématiques classiques un nouveau qualificatif : l'adjectif standard. Tout objet des mathématiques classiques est donc à présent soit standard, soit non-standard. Mais en dehors des objets des mathématiques classiques, on peut aussi parler désormais de nouvelles notions, de nouveaux objets : ceux dont la définition requiert l'usage du mot standard ou de ses dérivés. Par exemple, l'ensemble ^sN des entiers standard ne peut se définir sans l'usage du mot standard ; ce n'est donc pas un ensemble des mathématiques classiques.

On a donc affaire à 2 types d'objets : d'une part les objets internes (aux mathématiques classiques) qui sont définis classiquement sans l'usage du mot standard, et qui peuvent être soit standard, soit non-standard, et d'autre part les objets externes aux mathématiques classiques.

Il faut maintenant expliciter les règles d'utilisation auxquelles on veut soumettre l'usage du mot standard, sans quoi il n'aurait pas beaucoup d'utilité. La théorie IST (Internal Set Theory) postule trois axiomes pour régir l'utilisation du mot stantard, qui viennent s'ajouter à ceux de la théorie ZFC (théorie formelle des ensembles classiques sur laquelle sont fondées toutes les mathématiques actuelles) : l'Idéalisation, le Transfert, et la Standardisation. Sans entrer dans les détails, on peut dire que de ces 3 axiomes découlent 3 principes qui permettent de construire l'Analyse Non-Standard.

Le premier principe traduit une certaine hérédité du caractère standard au sein des objets internes aux mathématiques classiques. (Ainsi, puisqu'on peut montrer que Ø est standard, il en découle que tous les objets internes consrtuits à partir de Ø (1, 2, 3, ..., N, R, ...) sont standard.
Le second principe nous enseigne où trouver les standard et les non-standard : les ensembles composés uniquement d'éléments standard sont les ensembles finis. Cela signifie aussi que les ensembles infinis sont les «réservoirs» à éléments non-standard.
Le principe de transfert permet de travailler avec les objets non-standard comme avec les objets standard, en leur transmettant les propriétés des standard.

Les entiers non-standard

D'après le second principe, l'ensemble N des entiers naturels possède des éléments non-standard, car il est infini.
Soit n un entier standard de N. L'ensemble I_n des entiers q tels que q < n est un ensemble interne. Cet ensemble est fini, donc d'après le second principe, tous ses éléments sont standard, de sorte que si on prend un entier non-standard, il est nécessairement plus grand que n (sinon il serait standard). Comme n est quelconque, on en déduit qu'un entier non-standard est supérieur à tout entier standard.

Les entiers non-standard sont donc appelés entiers illimités, et les entiers standard, entiers limités. Néanmoins, tous les entiers limités, ou illimités, sont finis.

En effet, les entiers sont (du point de vue de la théorie formelle des ensembles) assimilables à des ensembles finis (appelés ordinaux finis). Ainsi, 0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {Ø,{Ø}}, 3 = {Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}, ... etc, car tous ces ensembles sont des ordinaux, et clairement finis. Mais rien ne nous dit qu'il n'existe pas d'autres ordinaux finis que ceux construits à partir de l'ensemble vide. Ainsi, la théorie formelle des ensembles ZFC nous dit que 1, 2, 3 ... sont des entiers, mais ne nous dit pas s'il y en a d'autres. C'est là que la théorie des ensembles IST prend le relai en affirmant qu'il existe d'autres ordinaux finis que 1, 2, 3, 4, ... . De fait, 1, 2, 3, ... sont les ordinaux finis standard (car définis à partir de Ø qui est standard) et les autres (dont l'existence découle du 2ème principe) sont les ordinaux finis non-standard. On voit que ces ordinaux finis non-standard ressemblent bien à l'idée intuitive qu'on a d'un entier "infiniment grand" (d'où l'appellation d'entiers illimités); néanmoins, ils restent "finis" au sens mathématique du terme (pour mémoire, un ensemble est fini si aucune de ses partie ne peut être mise en bijection avec lui-même).

Cet exemple est révélateur : il montre à quel point il faut se méfier du sens qu'on donne aux objets mathématiques, qui ne sont que des structures purement formelles. Ainsi, la définition traditionnelle d'un ensemble infini est très conventionnelle : un ensemble est infini ssi il existe une bijection entre lui-même et une de ses parties. Ce n'est pas très intuitif, mais on a choisi cette définition car c'est celle qui engendre des propriétés les plus proches de ce que nous pensons être un ensemble infini. Mais ce n'est qu'une convention. Pour définir un nombre infiniment grand (qui renvoit pourtant lui aussi à l'idée d'infini), on a préféré utiliser le concept formel de non-standard. Une idée générale et intuitive comme celle de l'inifinité peut donc amener des formalisations différentes, selon le point de vue adopté, un peu comme la physique peut utiliser des modèles différents (voire incompatibles !) pour décrire ce qui nous parait recouvrir le même phénomène. Il est à noter cependant que le non-standard a un lien de parenté avec l'infini de par le second principe.

Les réels non-standard

Les fondements de l'Analyse Non-Standard sont quelque peu subtils, mais une fois posés, ils permettent de défnir de façon très naturelle un grand nombre de notions intuitives :

A la différence des entiers, les réels limités ne sont pas les réels standard. Néanmoins, on montre que tout réel limité est infiniment voisin d'un unique réel standard appelé partie standard. A partir de là, on peut définir des S-propriétés analogues à celles utilisées en Analyse Classique. Par exemple, une fonction est dite S-continue si les images de deux réels infiniment voisins sont infiniment voisines. Dans le cas des fonctions standard, la S-continuité coïncide avec la continuité. Mais, par exemple, la fonction non-standard qui vaut 1 pour tout réel infinitésimal et 0 sinon, est S-continue (comme on peut facilement le vérifier), alors que sa partie standard (qui vaut 1 en 0, et 0 sinon) est discontinue !